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分块

分块查找是折半查找和顺序查找的一种改进方法，分块查找由于只要求索引表是有序的，对块内节点没有排序要求，因此特别适合于节点动态变化的情况。

分块其实可以说是一种偏数据结构类的通用型算法吧，没有很艰深的内容，与暴力最为相似，但是在很多题目中都能派上很好的用场。

我们可以先通过一道模板例题来了解分块。

Description

给出一个长为\(n\)的数列，以及\(n\)个操作，操作涉及区间加法，单点查值。

Solution

这道题当然可以用树状数组，线段树等经典的数据结构来解决，我们现在来谈一谈分块的做法。

分块就是讲原本序列中的n个数"打包"分为\(sqrt(n)\)个块，对于区间的操作，我们可以对每一个块进行标记处理，等到查询时再检查是否有更新记录，利用类似于这样的思想来优化时间复杂度。

具体的，我们可以这样做。

1.使\(t=sqrt(n)\)，将原序列分为\(t\)个块，其中，第\(i\)个块的覆盖范围为\([(i-1)*t+1,i*t]\)

2.对于最后剩下不完全的部分，额外的分一个块，其范围为\([n-\lfloor{\frac{n}{t}}\rfloor*t+1,n]\)

3.预处理一个数组\(pos[i]\)，代表第\(i\)个元素所在块的下标

4.对于区间加法操作，区间包含的部分一定为若干个完整的块(可能\(0\)个)和至多两个不完整的块，对于不完整的块，我们可以暴力扫描进行加法更新，对于完整的块\(i\)，我们可以令\(changed[i]+=delta\)，表示第i个块有一个整体的\(+delta\)更新操作，先记录下来。

5.对于查询操作，我们可以直接返回\(a[x]+change[pos[x]]\)。

这就是分块算法的基本流程，引用\(lyd\)大佬一句话来形容，就是大段维护，局部朴素，可以认为是暴力的优化，具有较好的直观性，代码量不长，容易拓展。

\(Code:\)

#include
    
     using namespace std;const int N=100000+200,M=100000+200,sqrtN=400;int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N];long long changed[sqrtN],a[N];inline void input(void){    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)        scanf("%lld",&a[i]);}inline void init(void){    t=sqrt(n);    for(int i=1;i<=t;i++)    {        L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1;        R[i]=i*sqrt(n);    }    if(R[t]
    

Description

给出一个长为\(n\)的数列，以及\(n\)个操作，操作涉及区间加法，询问区间内小于某个值\(x\)的元素个数。

Solution

这道题就是分块算法的简单拓展，对原来算法进行简单的改进就可以解决该问题。

除了增量标记外，每一个块我们额外维护一个有序序列。用\(vector\)储存每一个块的有序序列并直接利用\(sort\)排序即可。

对于区间加法，整块的部分直接累加增量标记，非整块的部分暴力修改单点权值，并对部分修改的块重置有序序列即可。

对于查询，整块的部分直接二分查找有序序列中大小第一个大于等于\(c*c-change[i]\)的部分，数量即为该位置减掉数组首地址，累加每一个整块的数量即可，非整块的部分暴力统计即可累加答案。

\(Code:\)

#include
    
     using namespace std;const int N=50000+200,M=50000+200,sqrtN=300;int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N];int changed[sqrtN],a[N];vector < int > section[sqrtN];inline void input(void){    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)        scanf("%d",&a[i]);}inline void reset(int x){    section[x].clear();    for(int i=L[x];i<=R[x];i++)        section[x].push_back(a[i]);    sort(section[x].begin(),section[x].end()); }inline void init(void){    t=sqrt(n);    for(int i=1;i<=t;i++)    {        L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1;        R[i]=i*sqrt(n);    }    if(R[t]
    

Description

给出一个长为\(n\)的数列，以及\(n\)个操作，操作涉及区间加法，询问区间内小于某个值\(x\)的前驱（比其小的最大元素）。

Solution

这道题其实和第二题类似，也是维护每一个块的区间有序性，前驱直接二分查找即可。

\(Code:\)

#include
    
     using namespace std;const int N=100000+200,sqrtN=400;const long long INF=LONG_LONG_MAX;int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N];long long changed[sqrtN],a[N];vector < long long > section[sqrtN];inline void input(void){    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)        scanf("%lld",&a[i]);}inline void reset(int x){    section[x].clear();    for(int i=L[x];i<=R[x];i++)        section[pos[i]].push_back(a[i]);    sort(section[x].begin(),section[x].end());}inline void init(void){    t=sqrt(n);    for(int i=1;i<=t;i++)    {        L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1;        R[i]=i*sqrt(n);    }    if(R[t]
     
      ans)ans=val;}inline long long ask(int l,int r,long long limit){    int p=pos[l],q=pos[r];    long long ans=-1;    if(p==q)    {        for(int i=l;i<=r;i++)            updata(ans,a[i]+changed[pos[i]],limit);    }    else    {        for(int i=l;i<=R[p];i++)            updata(ans,a[i]+changed[pos[i]],limit);        for(int i=L[q];i<=r;i++)            updata(ans,a[i]+changed[pos[i]],limit);        for(int i=p+1;i<=q-1;i++)            updata(ans,section[i][lower_bound(section[i].begin(),section[i].end(),limit-changed[i])-section[i].begin()-1]+changed[i],limit);    }    return ans;}inline void solve(void){    int l,r,index;long long delta;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        scanf("%d%d%d%lld",&index,&l,&r,&delta);        if(!index)            change(l,r,delta);        else printf("%lld\n",ask(l,r,delta));     }}int main(void){    input();    init();    solve();    return 0;}
     
    

Description

给出一个长为\(n\)的数列，以及\(n\)个操作，操作涉及区间加法，区间求和。

Solution

这道题的拓展也是比较典型的。我们只需要再维护每一块的权值和就可以快速的解决查询问题，对于权值和的更新，只需要对每一次加法操作是进行顺带更新即可。

\(Code:\)

#include
    
     using namespace std;const int N=100000+200,M=100000+200,sqrtN=400;int n,t,L[sqrtN],R[sqrtN],pos[N];long long changed[sqrtN],sum[sqrtN],a[N];inline void input(void){    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)        scanf("%lld",&a[i]);}inline void init(void){    t=sqrt(n);    for(int i=1;i<=t;i++)    {        L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1;        R[i]=i*sqrt(n);    }    if(R[t]
    

总结

分块算法可以说是一种优雅的暴力优化，在处理区间问题上有很大的帮助，通过对几道例题的认识，我们可以归纳得到如下要点：

• 是否可以用分块算法？区间问题，具有整体维护的可行性
• 使用分块算法需要考虑的问题？1.如何预处理 2.如何处理不完整的块 3.如何维护完整的块

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